从柯西积分公式推导泊松积分公式

目标与结论

设 $u$ 在单位圆盘 $D=\{z:|z|<1\}$ 内调和，并在闭圆盘 $\overline D$ 上连续。记边界函数

$$g(t)=u(e^{it}),\qquad 0\le t\le 2\pi.$$

泊松积分公式给出圆盘内的调和延拓：

$$u(re^{i\theta}) =\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} \frac{1-r^2}{1-2r\cos(\theta-t)+r^2}\,g(t)\,dt, \qquad 0\le r<1.$$

下面说明这个公式如何从柯西积分公式得到。

Note

为了让推导更顺畅，我们假设 $u$ 足够光滑（例如 $u\in C^2(D)\cap C^1(\overline D)$），从而可以取到调和共轭并进行边界积分。更一般的情形需要一点函数分析工具，但公式仍成立。

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第一步：调和函数是解析函数的实部

单位圆盘是单连通区域。若 $u$ 调和，则存在调和共轭 $v$（差一个常数），使得

$$f(z)=u(z)+iv(z)$$

在 $D$ 内解析（全纯）。

在边界上（以径向极限理解）：

$$f(e^{it})=u(e^{it})+iv(e^{it})=g(t)+i\,v(t).$$

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第二步：对 $f$ 使用柯西积分公式

对 $|z|<1$，柯西积分公式（沿单位圆 $|\zeta|=1$）为

$$f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{|\zeta|=1}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\,d\zeta.$$

令 $\zeta=e^{it}$，则 $d\zeta=i e^{it}dt$，得到

$$f(z)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} f(e^{it})\,\frac{e^{it}}{e^{it}-z}\,dt. \tag{1}$$

这个公式把 $f(z)$ 写成了边界数据 $f(e^{it})$ 的积分。但我们想要的是 $u(z)=\mathrm{Re}\,f(z)$，并且只用到 $g(t)=u(e^{it})$，不希望出现未知的 $v(t)$。

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第三步：一个关键恒等式（用来“消去虚部”）

对固定的 $z$（满足 $|z|<1$），考虑函数

$$\zeta\ \longmapsto\ \frac{f(\zeta)}{1-\overline z\,\zeta}.$$

因为 $|\overline z\,\zeta|\le |z|<1$，所以分母 $1-\overline z\,\zeta$ 在 $|\zeta|\le 1$ 内不会为零；再加上 $f$ 在 $D$ 内解析，因此上式在圆盘内解析。

所以由柯西积分定理（解析函数沿闭曲线积分为 0）：

$$\int_{|\zeta|=1}\frac{f(\zeta)}{1-\overline z\,\zeta}\,d\zeta=0.$$

令 $\zeta=e^{it}$ 并化简：

$$0=\int_0^{2\pi}\frac{f(e^{it})}{1-\overline z\,e^{it}}\,i e^{it}\,dt.$$

两边取复共轭（注意 $\overline{i}=-i$）：

$$0=\int_0^{2\pi}\overline{f(e^{it})}\,\frac{e^{-it}}{1-z e^{-it}}\,dt.$$

而

$$\frac{e^{-it}}{1-z e^{-it}}=\frac{1}{e^{it}-z},$$

于是得到非常重要的结论：

$$\boxed{\ \int_0^{2\pi}\frac{\overline{f(e^{it})}}{e^{it}-z}\,dt=0,\qquad |z|<1.\ } \tag{2}$$

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第四步：得到 Schwarz 积分公式

把边界上的实部写成

$$g(t)=u(e^{it})=\frac{f(e^{it})+\overline{f(e^{it})}}{2}.$$

用 (2) 立刻得到

$$\int_0^{2\pi}\frac{f(e^{it})}{e^{it}-z}\,dt =2\int_0^{2\pi}\frac{g(t)}{e^{it}-z}\,dt. \tag{3}$$

接下来把 (1) 的核拆开：

$$\frac{e^{it}}{e^{it}-z}=1+\frac{z}{e^{it}-z}.$$

代入 (1)：

$$f(z)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} f(e^{it})\,dt +\frac{z}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{f(e^{it})}{e^{it}-z}\,dt.$$

注意把 $z=0$ 代入 (1) 可得

$$f(0)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} f(e^{it})\,dt.$$

并用 (3) 把第二项换成 $g(t)$：

$$f(z)=f(0)+\frac{z}{\pi}\int_0^{2\pi}\frac{g(t)}{e^{it}-z}\,dt. \tag{4}$$

再用恒等式

$$\frac{e^{it}+z}{e^{it}-z}=1+\frac{2z}{e^{it}-z}, \qquad\text{即}\qquad \frac{z}{e^{it}-z}=\frac12\left(\frac{e^{it}+z}{e^{it}-z}-1\right),$$

把 (4) 改写为

$$f(z)=f(0)+\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} g(t)\left(\frac{e^{it}+z}{e^{it}-z}-1\right)\,dt.$$

另一方面，取实部可得调和函数的平均值性质

$$u(0)=\mathrm{Re}\,f(0)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} g(t)\,dt.$$

因此

$$f(z)=\bigl(f(0)-u(0)\bigr)+\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} g(t)\,\frac{e^{it}+z}{e^{it}-z}\,dt.$$

注意 $f(0)-u(0)=i\,v(0)$ 是纯虚常数。记 $C=v(0)$，就得到 Schwarz 积分公式：

$$\boxed{\ f(z)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} g(t)\,\frac{e^{it}+z}{e^{it}-z}\,dt+iC,\qquad |z|<1. \ } \tag{5}$$

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第五步：取实部得到泊松积分公式

对 (5) 取实部，$\mathrm{Re}(iC)=0$，所以

$$u(z)=\mathrm{Re}\,f(z) =\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} g(t)\,\mathrm{Re}\!\left(\frac{e^{it}+z}{e^{it}-z}\right)\,dt. \tag{6}$$

现在计算核的实部。令 $z=re^{i\theta}$，并记 $\psi=\theta-t$。则

$$\frac{e^{it}+z}{e^{it}-z} =\frac{1+r e^{i\psi}}{1-r e^{i\psi}} =\frac{(1+r e^{i\psi})(1-r e^{-i\psi})}{|1-r e^{i\psi}|^2} =\frac{(1-r^2)+2ir\sin\psi}{1-2r\cos\psi+r^2}.$$

因此

$$\mathrm{Re}\!\left(\frac{e^{it}+z}{e^{it}-z}\right) =\frac{1-r^2}{1-2r\cos(\theta-t)+r^2}.$$

把它代回 (6)，得到泊松积分公式：

$$\boxed{ u(re^{i\theta}) =\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} \frac{1-r^2}{1-2r\cos(\theta-t)+r^2}\,g(t)\,dt, \qquad 0\le r<1. }$$

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补充：半径为 $R$ 的圆盘版本

若圆盘是 $|z|<R$，令 $z= \rho e^{i\theta}$，相当于把上面结果对 $z/R$ 应用一次，得到

$$u(\rho e^{i\theta}) =\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} \frac{R^2-\rho^2}{R^2-2R\rho\cos(\theta-t)+\rho^2}\,u(Re^{it})\,dt, \qquad 0\le \rho<R.$$

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总结

1. 调和函数 $u$（在单连通域）可以写成解析函数 $f=u+iv$ 的实部。
2. 柯西积分公式把解析函数 $f$ 的内部值写成边界积分。
3. Schwarz 公式的核 $\frac{e^{it}+z}{e^{it}-z}$ 的实部就是泊松核，因此取实部立刻得到泊松积分。

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扩展：从圆盘到一般区域的“泊松积分”

在单位圆盘上，我们得到了显式的泊松核

$$P_r(\theta-t)=\frac{1-r^2}{1-2r\cos(\theta-t)+r^2},$$

从而只用边界值 $u|_{|z|=1}$ 做一次积分就能得到圆盘内任意点的 $u$。

很多同学会自然地问：对任意形状的区域 $\Omega$，是否也存在“像柯西积分公式那样”的边界积分表示？

答案是：在适当条件下可以，但和柯西公式相比有两个本质差别：

1. 一般区域的泊松核 $P_\Omega(x,\xi)$ 强烈依赖区域的几何形状（不像 $\frac{1}{\zeta-z}$ 那样“几乎不依赖域”）。
2. 泊松核的本质是由该区域的 Green 函数构造出来的，因此要得到显式公式通常需要“先知道（或先求出）这个域的 Green 函数”。

下面用最常见的 PDE 语言把这几句话说严谨一点。

1) 一般区域也有边界积分表示，但核依赖于区域

设 $\Omega\subset\mathbb R^n$ 为有界区域，边界 $\partial\Omega$ 足够光滑（例如 $C^1$），给定边界值 $f\in C(\partial\Omega)$，Dirichlet 问题

$$\Delta u=0\ \text{在}\ \Omega,\qquad u|_{\partial\Omega}=f$$

在许多常见情形下有唯一解，并可写成

$$u(x)=\int_{\partial\Omega} P_\Omega(x,\xi)\,f(\xi)\,dS(\xi),\qquad x\in\Omega,$$

其中 $dS$ 是边界面积元，$P_\Omega(x,\xi)\ge 0$ 且满足

$$\int_{\partial\Omega} P_\Omega(x,\xi)\,dS(\xi)=1.$$

这里的 $P_\Omega$ 就是该区域的 泊松核（Poisson kernel）。

更一般的表述是用 调和测度（harmonic measure）：对每个内部点 $x$，存在边界上的概率测度 $\omega^x$，使得

$$u(x)=\int_{\partial\Omega} f(\xi)\,d\omega^x(\xi).$$

当 $\omega^x$ 对 $dS$ 绝对连续时，$P_\Omega(x,\xi)$ 就是密度 $P_\Omega=d\omega^x/dS$。

2) “一般域的泊松核”本质上就是 Green 函数的法向导数

设 $G_\Omega(x,y)$ 是 Dirichlet Green 函数，满足（对固定的 $x$，视 $y$ 为变量）

$$\Delta_y G_\Omega(x,y)=-\delta_x(y)\ \text{在}\ \Omega,\qquad G_\Omega(x,\xi)=0\ \text{在}\ \partial\Omega.$$

则 Green 表示公式给出（对足够光滑的 $u$）

$$u(x)=\int_{\partial\Omega} u(\xi)\,\frac{\partial G_\Omega(x,\xi)}{\partial n_\xi}\,dS(\xi) -\int_{\Omega} G_\Omega(x,y)\,\Delta u(y)\,dV(y).$$

如果 $u$ 在 $\Omega$ 内调和（$\Delta u=0$），体积分消失，得到

$$u(x)=\int_{\partial\Omega} u(\xi)\,\frac{\partial G_\Omega(x,\xi)}{\partial n_\xi}\,dS(\xi).$$

因此（按常用号约定）泊松核可以取为

$$P_\Omega(x,\xi)=-\frac{\partial G_\Omega(x,\xi)}{\partial n_\xi}.$$

这句话就是：泊松核编码了区域的几何信息，因为它来自该区域的 Green 函数。 圆盘/半平面/球之所以能写出漂亮的显式泊松核，正是因为这些区域的 Green 函数可以显式求出（靠对称性、反演或像电荷等）。

3) 与柯西积分公式相比

对解析函数，柯西积分公式

$$f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial\Omega}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\,d\zeta$$

使用的核 $\frac{1}{\zeta-z}$ 是“普适”的：它只依赖复平面的解析结构，不需要先求出与 $\Omega$ 相关的 Green 函数。

而对调和函数的 Dirichlet 问题，虽然也能写成边界积分，但核 $P_\Omega(x,\xi)$ 通常必须通过 $G_\Omega$ 或解边界积分方程获得，因此一般没有像柯西核那样简单统一的显式形式。

4) 二维的额外福利：共形映射可以把一般域“化成圆盘”

在二维平面中，若 $\Omega$ 单连通且边界足够好，存在共形映射 $\phi:\Omega\to D$。调和函数与调和测度在共形映射下变换良好，因此原则上可以把圆盘上的泊松公式“拉回”到 $\Omega$ 上。

不过在实际计算中，这往往受限于：共形映射 $\phi$ 很少有显式表达式，因此 “圆盘上有显式泊松核” 仍然是一个非常特殊而重要的情形。